大学生涯学习二进制 EEE104

EEE104-Lecture 1

迟然2024-03-082024-03-08

注意⚠️：本专栏的顺序与上课顺序不一定完全一致！！！

二进制数

什么是二进制？

二进制是一种以2为基数的记数系统，也就是说，它只使用0和1两个数字来表示所有数。二进制数的每一位称为一个比特（bit）。
二进制的进位规则是“逢二进一”，即每一位上的数字如果满2，则进一位，并将该位清零。就像我们常用的十进制一样，每一位上的数字如果满10，就往前进一位，并且该位清零。例如，二进制数1111，其十进制表示为15。
在计算机科学中，二进制有着广泛的应用。计算机中的所有数据都以二进制形式存储，包括文本、图像、声音等，并且运算都是基于二进制进行的。网络中的数据传输也都是以二进制形式进行的。

二进制的小数

二进制也有小数。在小数点左侧，从第0位开始，每个位的权重分别表示2^0^, 2^1^, 2^2^…2^n-1^。而右侧则为2^-1^, 2^-2, 2^-3…2^-n^。

二进制到十进制转换

我们将每个位的权重都表示出来，将所有将所有为 1 的位的权重相加即可得到对应的十进制数。

十进制到二进制转换

这一转换更加简单，我们使用整数的重复除2法：

将数字除以 2。
将上一次得到的结果再除以 2，直到产生零商。
除法产生的余数形成二进制数。
第一个余数是最低有效位(LSB)。

对于小数，我们将除2改为乘2:
将数字乘以 2。
重复将乘积的小数部分乘以 2，直到小数部分的乘积为零或达到所需的小数位数。
由乘法产生的进位形成二进制数。
第一次进位是**最高有效位(MSB)**。

二进制算数

对于二进制算数，我觉得并没有什么可以说的。因为这完全可以类比为十进制的加减乘除。唯一的区别就是二进制的上限是二，十进制的上限是十。所以二进制也是可以使用竖式运算的。
二进制加法：
二进制减法：
二进制乘法：
二进制除法：

二进制的变换方式

二进制拥有两种变换方式，我们称它为”1的补“和”2的补“。（这会在下一节中重点讲述）

1的补

将二进制数中的所有 1 都换成 0，所有 0 都换成 1。

2的补

将 1 的补加 1。这对于负数的表示很重要。

十六进制数字

是的，除了二进制和十进制，我们还有十六进制。
十六进制数字系统有 16 位数字，包括10 个数字(0-9)和 6 个字母字符(A-F)。每个数字代表一个 4 位的二进制数。十六进制数可以下标 16，也可以后面跟着一个“h”。
以下是十六进制的表格：
到达F后，我们需要进一位。在16进制的表示是：10, 11, 12…1E, 1F，在二进制的表示是：0001 0000, 0001 0001, 00010010…0001 1110, 0001 1111。

十六进制到二进制的转换

从上面我们可以知道，1 个十六进制字符就是 4 个二进制字符。所以我们只需要将每个十六进制符号替换为相应的 4 位。并且最左边的 0 是可以删除的。

十六进制到十进制的转换

类似于二进制转十进制，使用权重与每一位上的数相乘后想加。但是首先我们需要把十六进制每一位上的数换成十进制，并且权重从右到左分别是16^0^, 16^1^, 16^2^……
我们以十六进制的“B2F8”为例子，来进行一次转换：

十进制到十六进制的转换

类似于十进制转二进制，使用重复除 16 法即可，就不过多赘述了。

十六进制加法

前面的十进制与十六进制的换算其实都是为了这一部分做准备。因为十六进制同时存在数字和字母，所以不能直接进行加法运算，而是需要先转化为十进制，而后再转回去。
并且我们需要遵循以下原则：

如果两个数字的和小于 16，可以直接转为对应的十六进制数字。
如果这两个数字的和大于或等于 16，则需要减去 16，并在前一列加 1。（类似于进位）

二进制编码十进制

二进制编码十进制（Binary Coded Decimal, BCD），是一种用二进制代码表示十进制数字的简单方法。
BCD 系统只有 10 个代码组。
它主要用于用户界面，如键盘和数字显示器。
8421 码是一种 BCD，其中四个比特的权重分别为 8, 4, 2和1。

其实说白了，就是用二进制来表示十六进制。需要注意的是，每一个数字都由一个四位的二进制组来表示，一定不要和二进制表示十进制搞混了！
这一部分的转换就是对着表查或者是背下来，四个四个为一组就行。

BCD的加法

我们可以直接使用二进制加法规则将两个 BCD 数相加。
如果一个 4 位组的十六进制小于 10，那么它就是一个有效的 BCD 数。（因为十六进制大于 9 的情况下是字母）
如果一个 4 位组的十六进制大于或等于 10，或者产生了溢出的位（也就是向第五位进了1），则结果无效。需要在此 4 位组上加 6（0110）来跳过 6 个无效状态（6个字母）。
正常的情况：
需要+6的情况：